「mv my_file..」を実行するとどのような効果がありますか？

スラッシュは関係ありません。ファイルは親ディレクトリにあります。

$ ls
file
$ mv file ..
$ ls
$ ls ../
bar  file

なぜ見つからないのかわかりません。逃しただけじゃないですか？または、隠しファイル（ドットで始まる名前）である可能性があり、ls -aそれを確認する必要があります。