既存のコンテナでdockerコマンドを実行するか、新しいコンテナを起動してください。

起動に時間がかかりすぎるコンテナがあります。だからずっと運営したいです。

これを行うためのコマンドはありますか？

if container is_running:
  # exec
  docker exec «container_name» «command»
else:
  #create, start, and exec
  docker run --name «container_name» «image_name» «command»

docker stopx時間の間活動がなければ報酬を受け取ります（必須ではありません）。

おそらくシェルスクリプトでこれをすべて行うことができます。しかし、最初のポイントは、docker runができることのようです。