tmuxセッション内には、リモートシステムに他のtmuxセッションがネストされています。プロセスが完了したら、内部tmuxに外部に通知する方法があるかどうか疑問に思います。
どちらも（リモート、ローカル）.tmux.confで次のように設定しました。
set-option -g visual-activity off
できないようですが、これを実行できるプラグインがあるかどうか疑問に思います。
答え1
プロセスが終了すると、いつでも特別な「警告」またはベル文字を送信できます。
$ echo -en '\a'
端末を目に見えるベルとして設定すると、外部tmuxセッションウィンドウがビープ音を鳴らすか点滅します。内部tmuxでは、以下を使用してリングを伝播する必要があるかもしれません。
set-option bell-on-alert on