バックグラウンドプロセスが完了した後に別のプロセスを実行する

間に意味の違いはありません。

for id in 1 2 3
do
bash running_script1.sh $id &   (#complete 1 minute/looping)
done

そして

bash running_script1.sh 1 &
bash running_script1.sh 2 &
bash running_script1.sh 3 &
wait
echo "running script2 ..."
bash running_script2.sh

time以下のデモスクリプトは、条件付きコマンドに関係なく3秒間実行できます（可能true）。false

#!/bin/sh -eu
for i in 1 2 3; do
    echo "sleep $i" > $i && chmod +x $i
done
if false; then
    for i in 1 2 3; do
        bash ./$i &
    done
else
    bash ./1 &
    bash ./2 &
    bash ./3 &
fi
wait

それでも違いがある場合は投稿してください。マクウェイ。

これが正しい方法かどうかはわかりませんが、screenを使用してスクリプトを実行します。
screen は bg でプロセスを実行する仮想端末です。

for id in 1 2 3
do
screen -d -m bash script1.sh $id
done
wait
echo "running script2 ..."
bash script2.sh

screen -d -m はスクリプトを実行し、スクリプトが完了すると画面を閉じます。
screenを使用すると、script1の出力を標準出力にインポートできないため、ファイルを使用してscript1の出力を保存します。