長い話を短く

バッシュから：

readarray -t arr2 < <(git … )
printf '%s\n' "${arr2[@]}"

あなたの質問には2つの異なる質問があります

1. 殻が壊れています。
   これを行うとき：

   arr1=($(git … ))
   

   「コマンド拡張」には引用符がないため、シェル分割とglobの影響を受けます。

   シェル分割が何をするのかを正確に見るには、printfを使用してください。

   $ printf '<%s>  '  $(echo word '"one simple sentence"')
   <word>  <"one>  <simple>  <sentence">
   

   これは次の方法で回避できます。引用する:

   $ printf '<%s>  '  "$(echo word '"one simple sentence"')"
   <word "one simple sentence">
   

   しかし、これはまた所望の改行分割を防止する。

2. パイプライン
   実行時：

   git … | … | … | readarray arr2
   

   配列変数arr2が設定されていますが、|パイプ（）が閉じると消えます。

   最後のサブシェルに滞在している場合は、次の値を使用できます。

   $ printf '%s\n' "First value." "Second value." | 
           { readarray -t arr2; printf '%s\n' "${arr2[@]}"; }
   First value.
   Second value.
   

   arr2しかし、パイプラインを離れた後は、その価値は維持されません。

解決策

改行を分割するには読み取りを使用する必要がありますが、パイプは使用できません。
古いものから新しいものまで：

1. リングの形。
   配列のない古いシェルの場合（位置引数を持つ唯一の準配列）：

   set --
   while IFS='' read -r value; do
       set -- "$@" "$value"
   done <<-EOT
   $(printf '%s\n' "First value." "Second value.")
   EOT
   
   printf '%s\n' "$@"
   

   配列設定（ksh、zsh、bash）

   i=0; arr1=()
   while IFS='' read -r value; do
       arr1+=("$value")
   done <<-EOT
   $(printf '%s\n' "First value." "Second value.")
   EOT
   
   printf '%s\n' "${arr1[@]}"
   

2. 
   Here-string here document() の代わりに here-string() を使用できます。<<<<<

   i=0; arr1=()
   while IFS='' read -r value; do
       arr1+=("$value")
   done <<<"$(printf '%s\n' "First value." "Second value.")"
   
   printf '%s\n' "${arr1[@]}"
   

3. プロセスの置き換え
   これをサポートするシェル（ksh、zsh、bash）では、これを使用して<( … )ここで文字列を置き換えることができます。

   i=0; arr1=()
   while IFS='' read -r value; do
       arr1+=("$value")
   done < <(printf '%s\n' "First value." "Second value.")
   
   printf '%s\n' "${arr1[@]}"
   

   違いは<( )NULバイトをエクスポートする機能ですが、文字列はNULを削除（または警告）できます。デフォルトでは、ここでは末尾の改行文字が文字列に追加されます。 AFAIK他に何かあるかもしれません。

4. readarrayは次の目的で
   使用されます。readarraybash^[ㅏ]（別名mapfile）ループを避ける：

   readarray -t arr2 < <(printf '%s\n' "First value." "Second value.")
   printf '%s\n' "${arr2[@]}"
   

^[ㅏ]kshでは、使用する前に変数を消去する必要がありますread -Aが、改行文字を分割して入力全体を一度に読むには少し「魔法」が必要です。

IFS=$'\n' read -d '' -A arr2 < <(printf '%s\n' "First value." "Second value.")

必要です。mapfilezshからモジュールをロードする似たようなことをしてみてください。

readarray にパイプすると、arr2 配列を正しく埋めるサブシェルが起動してから終了します。 readarrayへの入力としてプロセス置換を使用します。

readarray -t arr2 < <(git ...)

あなたは近いです

これは「空白文字を含むファイル名」の問題です。

デフォルトでは、区切り文字は空白文字です。これはIFS環境変数によって設定されます。

環境変数を一時的に変更するには、次のコマンドを使用します。

ifs_backup=$IFS
IFS=$(echo -en "\n\b")

その後、このコマンドの出力は次のようになります。

for a in "${arr1[@]}"; do echo "$a"; done

する:

"Directory Name/File B.txt"
"File A.txt"

回復IFS：

IFS=$ifs_backup

コードの内部部分に引用符を追加します。

arr1=("$(git status --porcelain | grep "^.\w" | cut -c 4-)")